۴ روش استفاده از قانون ۷۲ در سرمایه گذاری

قانون ۷۲ یک قاعده سرانگشتی است که نشان می‌دهد چه مقدار طول می‌کشد تا سرمایه شما دو برابر شود. این روش برای نرخ‌هایی در دامنه ۵ درصد و ۲۰ درصد دقت زیادی دارد. این قانون همچنین می‌تواند نرخ بهره‌ی سالانه لازم برای دو برابر شدن مبلغی پول در تعداد سال‌هایی مشخص استفاده کرد. در مورد نرخ بازده‌های منطقی و رایج، می‌توان مدت زمانی را که برای دو برابر شدن مبلغ سرمایه‌گذاری لازم است، به طور تقریبی و با استفاده از قانون ۷۲ محاسبه کرد. فقط کافی است که عدد ۷۲ را بر نرخ بازده تقسیم کنید.

مثلاً اگر نرخ بازده مورد انتظار ۹ درصد باشد، با تقسیم عدد ۷۲ بر ۹ به عدد ۸ می‌رسیم. یعنی ۸ سال طول می‌کشد که با پول شما دو برابر شود. این روش برای نرخ‌هایی در دامنه ۵ درصد و ۲۰ درصد دقت زیادی دارد. در مورد نرخ‌های بالاتر استفاده از قانون ۷۲ توضیه نمی‌شود.

دقت کنید که عددی که در مخرج کسر قرار می‌گیرد باید به صورت درصدی باشد. مثلاً اگر نرخ بازده ۸%  باشد عددی که در مخرج قرار می‌گیرد ۸ است نه ۰٫۰۸ .

در صورت مرکب شدن پیوسته یا روزانه نرخ‌ها، می‌توان به جای عدد ۷۲ از عدد ۶۹٫۳ استفاده کرد تا نتیجه دقیق‌تر گردد. برخی از افراد برای راحتی کار عدد ۶۹٫۳ را به ۶۹ یا ۷۰ گرد می‌کنند.

قانون ۷۲ در موارد «رشد نمایی» قابل کاربرد است (مثلا در بهره‌ی مرکب) یا در «افت نمایی» مثلا در کاهش قدرت خرید ناشی از تورم پولی.

روش ۱ برآورد زمان «دو برابر شدن»

 

۱. R × T = 72 را در نظر بگیرید

R نرخ رشد (نرخ بهره) است، و T مدت زمانی (به سال) است که طول می‌کشد تا مبلغ پول دو برابر شود.

۲. به R یک مبلغ بدهید

به عنوان مثال، چقدر طول می‌کشد تا با یک نرخ بهره‌ی سالانه‌ی ۵٪ مبلغ ۱۰۰ دلار به ۲۰۰ دلار تبدیل شود؟ با فرض R=5 به 5 × T=72 می‌رسیم.

۳. معادله را حل کنید تا مقدار نامشخص پیدا شود

در این مثال، هر دو طرف معادله‌ی فوق را بر R (که برابر با ۵ است) تقسیم کنید تا به T = 72 ÷ 5 = 14.4  دست پیدا کنید. بنابراین ۱۴.۴ سال طول می‌کشد تا ۱۰۰ دلار با نرخ بهره‌ی سالانه‌ی ۵٪ به ۲۰۰ دلار برسد. (مقدار اولیه پول مهم نیست. فارغ از اینکه مقدار آغازین چقدر باشد همان مقدار زمان برای دو برابر شدنش طول خواهد کشید.)

۴. مثال‌های بیشتر را در قسمت زیر مطالعه کنید

– چقدر طول می‌کشد تا مقداری پول با نرخ بهره‌ی سالانه ۱۰٪ دو برابر شود؟

10 × T = 72 . هر دو طرف معادله را بر ۱۰ تقسیم کنید، آنگاه T = 7.2 سال.

– چقدر طول می‌کشد تا با نرخ بهره‌ی سالانه‌ی ۷.۲٪ مبلغ ۱۰۰ دلار به ۱۶۰۰ دلار تبدیل شود؟

توجه داشته باشید ۱۰۰ باید چهار بار دو برابر شود تا به ۱۶۰۰ برسد (۱۰۰ دلار ← ۲۰۰ دلار، ۲۰۰ دلار ← ۴۰۰ دلار، ۴۰۰ دلار ← ۸۰۰ دلار، ۸۰۰ دلار ← ۱۶۰۰ دلار). برای هر بار دوبل شدن، 7.2 × T = 72 آنگاه T = 10 .

در نتیجه چون هر بار دو برابر شدن ۱۰ سال طول می‌کشد، پس در کل زمان لازم برای تغییر ۱۰۰ دلار به ۱۶۰۰ دلار برابر با ۴۰ سال است.

روش ۲ برآورد نرخ رشد

 

۱. R × T = 72  در نظر بگیرید

R نرخ رشد است (در این مثال همان نرخ بهره است)، و T زمانی است (به سال) که طول می‌کشد هر مبلغ پول دو برابر شود.

۲. به T مقدار بدهید

به عنوان مثال، فرض کنید می‌خواهید پول‌تان را ظرف ۱۰ سال دو برابر کنید. برای انجام این کار به چه نرخ بهره‌ای نیاز دارید؟ مقدار ۱۰ را به T در معادله اختصاص بدهید. R × 10 = 72 .

۳. مسئله را حل و R را پیدا کنید

هر دو طرف معادله را بر ۱۰ تقسیم کنید تا به R = 72 ÷ 10 = 7.2 برسید. پس برای آنکه پول‌تان ظرف ده سال دو برابر شود به یک نرخ بهره‌ی ۷.۲٪ نیاز دارید.

روش ۳ برآورد «افت نمایی»

 

۱. مدت زمانی را که طول می‌کشد نصف پول‌تان را از دست بدهید (یا قدرت خرید آن به خاطر تورم نصف شود) محاسبه کنید. پس T = 72 ÷ R در نظر بگیرید.

این مثل همان معادله‌ی فوق است، فقط مقداری دستکاری شده است. حالا به R عدد بدهید. یک مثال:

– چه مدت زمان طول می‌کشد تا ۱۰۰ دلار قدرت خرید ۵۰ دلاری پیدا کند، نرخ تورم را ۵٪ در سال در نظر بگیرید.

– خب داریم 5 × T = 72، در نتیجه T = 72 ÷ 5 = 14.4 . این همان تعداد سال‌هایی است که طول می‌کشد تا قدرت خرید در یک دوره‌ی تورم ۵٪ به نصف کاهش پیدا کند. (اگر قرار بود نرخ تورم هر سال تغییر کند، باید از میانگین نرخ تورم در طول دوره‌ی زمانی کامل استفاده می‌کردید.)

۲. نرخ افت (R) را در یک دوره‌ی زمانی مشخص پیدا کنید: R = 72 ÷ T. به T مقدار بدهید و R را پیدا کنید.

به عنوان مثال:

– اگر قدرت خرید ۱۰۰ دلار ظرف ده سال به ۵۰ دلار برسد، نرخ تورم در طول آن دوره چقدر بوده است؟

– R × 10 = 72, → T = 10 →→ R = 72 ÷ 10 = 7.2 %

۳. هر داده‌ی غیر معمول را نادیده بگیرید

اگر می‌توانید یک روند کلی پیدت کنید، نگران اعداد موقتی که خیلی با محدوده‌ی موجود فاصله دارند نباشید. اصلا به آن اعداد توجهی نکنید.

روش ۴ اشتقاق

 

۱. سعی کنید بفهمید اشتقاق برای ترکیب ادواری چگونه کار می‌کند

– برای ترکیب دوره‌ای، FV = PV (1+r)˄T، که FV = ارزش آتی، PV = ارزش فعلی، r = نرخ رشد، T = زمان.

– اگر پول‌تان دو برابر شده است، FV = 2 *PV، در نتیجه 2PV=PV (1+r)˄T، یا 2= (1+r)˄T، با فرض اینکه ارزش فعلی صفر نیست.

– با لگاریتم طبیعی گرفتن از هر دو طرف مقدار T را به دست آورید، و معادله را دستکاری کنید تا به T= In(2) / In(1+r).

– سری (بسط) تیلور برای In(1+r) در حدود ۰ برابر است با  r – r²/2 + r³/3 – … . برای مقادیر پایین r، هم بخشی‌های دوره‌های توان بالاتر کوچک هستند، و عبارت به r نزدیک می‌شود، به نحوی که t= In(2) /r .

– توجه داشته باشید که In(2)  ̴0.693، به نحوی که T  ̴ 0.693 / r (یا T = 69.3 / R، که نرخ بهره را به عنوان درصد R از 0-100% نشان می‌دهد)، که قانون ۶۹.۳ است. سایر اعداد مانند ۶۹، ۷۰، و ۷۲ برای محاسبه‌ی آسان‌تر به کار برده می‌شوند.

۲. نحوه‌ی کارکرد اشتقاق را برای ترکیب‌های پیوسته درک کنید

برای ترکیب دوره‌ای با ترکیب متعدد سالانه، ارزش آتی به اینصورت است PV (1+r/n)˄nT که FV = ارزش آتی، PV = ارزش فعلی، r = نرخ رشد، T = زمان، و n = تعداد دوره‌های ترکیب در سال است. برای ترکیب پیوسته، n  به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. با استفاده از تعریف e=lim (1+1/n)˄n وقتی که n به سمت بی‌نهایت میل می‌کند، عبارت یا جمله‌ی ما به این شکل در می‌آید FV = PV e˄(rT) .

– اگر پول دو برابر شود، FV= 2*PV، در نتیجه 2PV= PV e˄(rT) ، یا 2= e˄(rT)، با فرض اینکه ارزش فعلی صفر نیست.

– با لگاریتم طبیعی گرفتن از هر دو طرف T را به دست آورید و با کمی دستکاری به T = In(2)/r=69.3/r برسید (که R=100r برای بیان نرخ رشد به صورت درصد). این را قانون 69.3 می‌نامند.

– برای ترکیب پیوسته، 69.3 (یا تقریبا 69) نتایج دقیق‌تری به دست می دهد، چون In(2)  تقریبا برابر با ۶۹.۳٪  است و R*T= In (2) ، که در آن R = نرخ رشد (یا افت)، T = زمان دوبل شدن (یا نصف شدن)، و In(2) لگاریتم طبیعی ۲ است. به عنوان تقریبی برای ترکیب پیوسته یا روزانه (که به پیوسته نزدیک است) ممکن است از ۷۰ نیز استفاده شود، که این امر جهت سهولت در محاسبات است. این متغیرها با عناوین قانون ۶۹.۳، قانون ۶۹، یا قانون ۷۰ شناخته می‌شوند.

– یک قضاوت دقت و درستی مشابه برای قانون ۶۹.۳ جهت ترکیب روزانه با نرخ‌های بالا استفاده می‌شود: T= (69.3 + R/3) / R .

– قانون مرتبه‌ی دوم اکارت-مک‌هیل یا قانون E-M ، اصلاحی ضربی به قانون ۶۹.۳ یا ۷۰ (اما نه ۷۲) می‌دهد، تا دقت محاسبه‌ی محدوده‌ی نرخ بهره‌ی بالاتر بهتر شود. برای محاسبه‌ی تقریب E-M، قانون ۶۹.۳ (یا ۷۰) را در حاصل 200/(200-18) ضرب کنید یعنی، T = (69.3/R)* (200/200-R). به عنوان مثال، اگر نرخ بهره ۱۸٪ باشد، قانون ۶۹.۳ می‌گوید t=3.85 سال. قانون E-M این عدد را در 200/(200-18) ضرب می‌کند، که زمان دو برابر شدن ۴.۲۳ سال را به دست می‌دهد، که بهتر به زمان دوبرابر شدن واقعی ۴.۱۹ سال در این نرخ نزدیک است.

– برای برآورد زمان دو برابر شدن برای نرخ‌های بالاتر، با افزودن ۱ برای هر ۳ درصد بزرگتر از ۸٪، قانون ۷۲ را تعدیل می‌کنیم. یعنی T = [72 + (R – 8%)/3] / R . به عنوان مثال، اگر نرخ بهره۳۲٪ باشد، زمانی که طول می‌کشد مقدار مشخصی پول دو برابر شود T=  [72 + (32 – 8)/3] / 32 = 2.5  سال است. توجه داشته باشید که در اینجا به جای ۷۲ از ۸۰ استفاده می‌شود که برای زمان دو برابر شدن تعداد ۲.۲۵ سال را به دست می‌دهد.

– در اینجا جدولی به شما ارائه می‌شود که تعداد ‌سال‌هایی که طول می‌کشد تا هر مقدار پول با نرخ‌های بهره‌ی مختلف دو برابر شود، ارائه و تقریب را در قانون‌های مختلف مقایسه می‌کند:

نرخ	تعداد واقعی سال‌ها	قانون ۷۲	قانون ۷۰	قانون ۶۹.۳	قانون E-M
0.25٪	277.605	288.000	280.000	277.200	277.547
0.5٪	138.976	144.000	140.000	138.600	138.947
1٪	69.661	72.000	70.000	69.300	69.648
2٪	35.003	36.000	35.000	34.650	35.000
3٪	23.450	24.000	23.333	23.100	23.452
4٪	17.673	18.000	17.500	17.325	17.679
5٪	14.207	14.400	14.000	13.860	14.215
6٪	11.896	12.000	11.667	11.550	11.907
7٪	10.245	10.286	10.000	9.900	10.259
8٪	9.006	9.000	8.750	8.663	9.023
9٪	8.043	8.000	7.778	7.700	8.062
10٪	7.273	7.200	7.000	6.930	7.295
11٪	6.642	6.545	6.364	6.300	6.667
12٪	6.116	6.000	5.833	5.775	6.144
15٪	4.959	4.800	4.667	4.620	4.995
18٪	4.188	4.000	3.889	3.850	4.231
20٪	3.802	3.600	3.500	3.465	3.850
25٪	3.106	2.880	2.800	2.772	3.168
30٪	2.642	2.400	2.333	2.310	2.718
40٪	2.060	1.800	1.750	1.733	2.166
50٪	1.710	1.440	1.400	1.386	1.848
60٪	1.475	1.200	1.167	1.155	1.650
70٪	1.306	1.029	1.000	0.990	1.523