نظریه آشوب یکی از نظریه‌های علمی دانست که غیرقابل پیش‌بینی بودن سیستم‌ها را توصیف می کند. این نظریه در اواسط دهه 1980 میلادی کشف شد و بررسی‌ها حول آن آغاز شد. در این نظریه فرض بر این است که بعضی اوقات سیستم‌ها در هرج و مرج قرار می‌گیرند و در اثر این بی نظمی، انرژی تولید می‌شود که جهت و نوع آن را نمی‌توان پیش‌بینی کرد. این سیستم‌های پیچیده ممکن است الگوهای آب و هوا، اکوسیستم‌ها، جریان‌های آب یا در درون جامعه در سازمان‌ها باشند. در حالی که رفتار آشفته این سیستم ها ممکن است در ابتدا تصادفی به نظر برسد ولی بر اساس نظریه آشوب می‌توان آشفتگی موجود در آن‌ها را به صورت یک فرمول ریاضی بیان کرد.
نظریه آشوب چیست و مدل سازی ریاضی آن چگونه انجام می‌شود؟
موضوعی که قرن‌ها مورد بحث انسان‌ها بوده است، این است که هر اثر یا اتفاقی که پیرامون ما می‌افتد دقیقاً به یک علت برمی‌گردد یا باید آن را نتیجه علت‌های مختلف و مرتبط با هم بدانیم. شاید بتوانیم پیدایش نظریه آشوب را به قرن هفدهم نسبت دهیم که ستاره‌شناسان قادر شدند تا با استفاده از مدل‌های ریاضی مسیر سیارات را پیش‌بینی کنند. در علم ریاضی و فیزیک ما دقیقاً نمی‌توانیم پیش‌بینی کنیم که دقیقاً چه اتفاقی می‌افتد ولی با استفاده آر داده‌های مربوط با نظریه آشوب تاغ حدودی می‌توان نتایج و اتفاقات را پیش‌بینی کرد.
با استفاده از مدل‌های ریاضی ما قادر خواهیم بود تا طبیعت اطراف خود را تفسیر کنیم و به کمک قدرت استدلال خود، مجموعه وقایع را در مدل‌های ریاضی و معادلات مختلف بگنجانیم و روند تقریبی اتفاقات را پیش‌بینی کنیم. همان‌طور که می‌دانید، نظریه‌های علمی بر خلاف مدل‌های ریاضی از طریق مطالعات انجام شده از طریق علوم تجربی حاصل می‌شوند و این در حالی است که مدل‌های ریاضی با استفاده آر مجموعه‌ای از بدیهیات استنتاج می‌شوند؛ اما چگونه فیزیکدانان، زیست شناسان و محققان پزشکی با استفاده از نظریه‌های علمی که بر پایه علوم تجربی هستند، برای حل مسائل و پیش‌بینی اتفاقات مدل‌سازی انجام می‌دهند؟
در واقع می‌توان گفت که وظیفه اصلی فیزیکدانان، زیست شناسان و محققان پزشکی این است که به این نتیجه برسند که آیا رویدادهای جهان از قوانین ریاضی پیروی می کنند یا خیر. آن‌ها برای پی بردن به چنین مدلی باید سه مرحله را طی کنند:
- در مرحله اول باید پدیده‌ها را مشاهده کنند و مورد بررسی قرار دهند؛ مشاهده پدیده‌ها و تحلیل آن‌ها مخصوصاً در علوم پزشکی یکی از مهمترین گام‌ها است.
- در این مرحله باید مشاهدات خود را به معادلات تبدیل کنند.
- در مرحله آخر باید معادلات ایجاد شده را حل کنند تا مدل‌سازی ریاضی مدنظرشان ایجاد شود.
پیش از ادامه مبحث لازم است به علاقه‌مندان به دانش ریاضی، پیشنهادی برای افزایش سطح مهارت و دانش علمی داشته باشیم. در صورتی که علاقه‌مند هستید تا در زمینه ریاضیات دانش کافی داشته باشید، پیشنهاد می‌کنیم از آموزش‌های فرادرس در این زمینه دیدن کنید. برای شروع یادگیری کافی است تا روی لینک زیر کلیک کنید:
در ادامه به این موضوع خواهیم پرداخت که در تاریخ علم فیزیک و ریاضیات، نظریه آشوب چگونه پدید آمده است. برای این موضوع ابتدا باید ریشه‌های علم مدرن را در گام‌های مختلف تاریخی مورد بررسی قرار دهیم و پس از آن به تولد و پیدایش نظریه آشوب بپردازیم. در نظر داشته باشید که برای اینکه مطالب برای عموم خوانندگان قابل فهم باشد، میزان استفاده از معادلات ریاضی را به حداقل کاهش خواهیم داد.
ریشه های علم مدرن
نیوتن و پرسش از علیت
شاید بتوان گفت که اولین چشمه‌ها برای شروع علم مدرن را باید به دوران یوهانس کپلر نسبت دهیم. یوهانس کپلر در دو کتاب خود که در سال‌های 1609 و 1618 منتشر کرده است، سه قانون برای حرکت سیارات ذکر کرده است. موضوعات گسترده‌ای در این کتاب نوشته شده‌اند که ما تمامی آن‌ها را در جهان پیرامون خود می‌بینیم؛ ولی درک جملات و نوشته‌های آن بسیار پیچیده هستند و برای درک دقیق و کلمه به کلمه آن باید به ریاضی و زبان آن احاطه کامل داشته باشیم؛ کتابی که شخصیت‌های آن مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی هستند.
اصل علیت که یکی از اصول مهم علم فیزیک است، به صورت مشهودی در فلسفه رنه دکارت وجود دارد و در آن می‌گوید «هر معلولی علتی دارد». اما در سال 1687، اصل علیت را با بیان دو مفهوم یعنی «شرایط اولیه» و «قانون حرکت» به اثبات رساند. او برای محاسبه مسیر حرکت سیارات، مدلی ساده‌ای ارائه داد. فرض را بر این گذاشت که حرکت هر سیاره‌ای تنها به ارتباط او با خورشید برمی‌گردد. بدین ترتیب او با استفاده از مدل خود، به محاسبه حرکت سیارات پرداخت و مشاهده شد که نتایج به‌دست آمده از سمت نیوتن با قوانین کپلر مطابقت بسیار زیادی داشت. نیوتن در طول تحقیقات و مطالعات خود توانست دانش حساب دیفرانسیل را توسعه دهد و قانون گرانش را نوشت؛ از او می‌توان به عنوان توسعه دهنده علم کلاسیک (فیزیک) تا قبل از ارائه قانون نسبیت و مکانیک کوانتوم نام برد.
لاپلاس و جبرگرایی
اگر بخواهیم جبرگرایی را تعریف کنیم، باید بگوییم جبرگرایی جبرگرایی امکان پیش‌بینی موضوعات بر اساس قانون علیت است. جبرگرایی را می‌توانیم به دو دسته زیر تقسیم‌بندی کنیم:
- جبرگرایی محلی
- جبرگرایی جهانی
جبر محلی به تعداد محدودی از عناصر محدود می‌شود که در فضای محدودی موضوع مورد نظر ما رخ می‌دهد به‌طور مثال بالستیک نوعی از جبر محلی است. ما رد بالستیک می‌توانیم مسیر و محل برخورد پرتابه را بر اساس بر اساس نیروی محرکه پودر، زاویه شلیک، جرم پرتابه و مقاومت هوا پیش‌بینی و تعیین کنیم. جبر محلی با توجه به اینکه قابل کنترل است، تغییری برای محیط پیرامون خود ایجاد نمی‌کند ولی ر مقابل آن جبر جهانی که به زبان فرانسوی «دترمینیسم لاپلاسین» نامیده می‌شود، تأثیر خود را به صورت گسترده به سرتاسر جهان وارد می‌کند. فیلسوف فرانسوی d’Holbach، نویسنده مشترک دائره‌المعارف دیدرو و آلمبر، اولین کسی بود که در مورد امکان سنجش و محاسبه تأثیرات به وجود آمده از یک رخداد معین صحبت‌هایی را در کتاب خود به میان آورد. در نوشته‌های اون چنین آمده است:
در گردباد غباری که توسط نیروی عنصری بلند می‌شود، چنان که به نظر ما می‌آید نمی‌توان آن را کوچک و بلااثر در نظر گرفت؛ در صورتی که شرایطی به صورت پیوسته مهیا باشد، همان گرد و خاک کوک می‌تواند باعث به وجود آمدن ترسناک‌ترین طوفان‌ها شود که در آن کوه‌ها از طریق امواج ایجاد شده به هم بغلتند. وقوع یا عدم وقوع چنین رخدادی را نباید به علم احتمال و تصادف نسبت داد؛ در صورتی که چنین موضوعی رخ دهد، باید بگوییم، موضوعات به دنبال هم و به درستی رخ داده‌اند و با عدم رخداد آن باید بگوییم در سیر موضوعات، یکی از آن‌ها به درستی عمل نکرده‌اند.
به این ترتیب هولباچ اولین کسی بود که به صورت غیر مستقیم به جبر جهانی اشاره کرد. اما این ریاضی‌دان و ستاره‌شناس پیر سیمون لاپلاس بود که مفهوم جبر جهانی را اندکی پس از d’Holbach در سال 1778 به وضوح بیان کرد:
ما باید وضعیت کنونی جها را به عنوان اثر حالت پیشین و به عنوان علت آنچه که پیش خواهد آمد، در نظر بگیریم.
خلاقیت لاپلاس در ارائه موضوعات و اثبات قوانین فوق‌العاده بود. او نشان داد که کل حرکات اجسام آسمانی (در زمان او، خورشید و سیارات) را می‌توان با قانون نیوتن توضیح داد و کاری کرد که مطالعه روی سیارات و حرکت آن‌ها به حل یک سری معادلات دیفرانسیل محدود شود. جالب است بدانید که با گسترش علم دیفرانسل، سیاره نپتون در سال 1848 تنها از طریق انجام محاسبات عددی (نه مشاهدات نجومی) کشف شد. اگر علاقه‌مند به یادگیری در زمینه نجوم هستید، پیشنهاد می‌کنیم از آموزش زیر که توسط فرادرس تهیه شده است، دیدن کنید:
در اواسط قرن نوزدهم، مشخص شد که محاسبه حرکت گازها بسیار پیچیده‌تر از حرکت سیارات است. این امر باعث شد تا جیمز کلرک ماکسول و لودویگ بولتزمن، فیزیک آماری را ایجاد کنند. یکی از فرضیه‌های اصلی آن‌ها این بود:
یک سیستم ایزوله در تعادل را باید در همه ریز حالت‌های قابل دسترس آن با احتمال مساوی یافت.
در سال 1859، ماکسول ویسکوزیته گازها را تابعی از فاصله بین دو برخورد مولکول توصیف کرد و قانون توزیع سرعت‌ها را به صورت فرمول بیان کرد. بولتزمن فرض می‌کرد که ماده از ذرات (مولکول‌ها، اتم‌ها) تشکیل شده است، این فرض اثبات نشده در زمان او بود، اگرچه دموکریت پیش از آن و در 2000 سال قبل، این موضوع را بیان کرده بود. او فرض را بر این قرار داده بود که ذرات به صورت دائمی در حال تصادف و برخورد با هم هستند. با این بیانات بولتزمن موضوع آنتروپی به میان آمد. از نظر فیزیکی، آنتروپی معیار یکنواختی توزیع انرژی است که به عنوان کمیت تصادفی در یک سیستم نیز در نظر گرفته می‌شود. از آنجایی که حرکت ذرات در گازها غیرقابل پیش بینی است، توصیف حرکت و برخورد احتمالی در آن‌ها می‌تواند صادق باشد. امروز دینامیک گازها به خوبی با استفاده از نظریه آشوب و متکی به سایر علوم گسترش داشته است.
پیدایش نظریه آشوب
پوانکاره و فضای فازی
با کار لاپلاس، می‌توان گذشته و آینده منظومه شمسی را محاسبه کرد و دقت این محاسبه به ظرفیت شناخت شرایط اولیه منظومه بستگی داشت. هولباخ و هانری پوانکاره دیدگاه دیگری را به شرح زیر ارائه کردند:
برای مطالعه تکامل یک سیستم فیزیکی در طول زمان، باید با استفاده از قوانین فیزیک مدلی را بسازیم. در این مدل‌ها، باید پارامترهای لازم و کافی را که مشخص کننده سیستم فیزیکی است، به صورت لیست درآورد. به این ترتیب وضعیت سیستم را می‌توانیم با در نظر گرفتن پارامترهای مورد بررسی در هر لحظه محاسبه کنیم و حالت‌های مختلف سیستم را که فضای فاز نامیده می‌شوند، به‌دست آورد.
موضوع داشتن ارتباط به شرایط اولیه توسط پوانکاره در مطالعه‌اش در مورد مسئله جسم n کشف شد، سپس توسط ژاک هادامارد با استفاده از یک مدل ریاضی به نام جریان ژئودزیکی، روی سطحی با انحنای غیر مثبت، به نام بیلارد هادامارد، کشف شد. یک قرن پس از لاپلاس، پوانکاره نشان داد که تصادفی بودن و جبرگرایی به دلیل غیرقابل پیش بینی بودن موضوعات و رخدادها در درازمدت، می‌توانند با هم سازگار شده و مطابقت داشته باشند.
زمانی که یک علت بسیار کوچک از رخداد ما دور می‌شود، تأثیر خود را روی رخداد ما با عمل نکردن خود می‌گذارد و باعث ایجاد نتیجه مجزایی در رخداد ما می‌شود. مایان علت کوچک را ممکن است نبینیم و نتوانیم آن را حدس بزنیم ولی آن تأثیر خود را بر سیستم ما گذاشته است؛ از این جهت است که صحبت از تصادف و احتمال به میان می‌آید. اگر دقیقاً قوانین طبیعت و وضعیت جهان را در لحظه اولیه می‌دانستیم، می‌توانستیم وضعیت همان جهان را در لحظه بعدی به طور دقیق پیش بینی کنیم. اما حتی اگر قوانین طبیعی دیگر هیچ رازی برای ما نداشت، باز هم می‌توانستیم وضعیت را به صورت تقریبی بدانیم؟ ما با استفاده از قوانین و علم محاسبات موجود می‌توانیم آینده جهان را پیش‌بینی کنیم ولی به هیچ عنوان از تأثیر موضوعات و رخدادهای کوچکی که امکان ایجاد تغییرات در سیستم ما را دارند، مطلع نیستیم و بنابراین ما تنها با استفاده از نظریه‌ها مختلف امکان پیش‌بینی شرایط را با احتمال داریم. این همان چیزی است که درباره آن صحبت می‌کنیم، یعنی نظریه آشوب.
آندری نیکولایویچ کولموگروف مطمئناً یکی از مهمترین ریاضی‌دانان قرن بیستم است که نام او با نظریه آشوب، نظریه اطلاعات، توپولوژی و سایر دستاوردهایی که داشته، مرتبط است. هنگامی که کولموگروف، در سال 1954، کار پوانکاره را مجدداً مورد بررسی قرار داد، مشاهده کرد که تنها یک حرکت منظم شبه تناوبی می‌تواند در یک سیستم یکپارچه ادامه یابد. حتی زمانی که اغتشاش جزئی به سیستم وارد شده است. این قضیه همچنین یک گذار پیش‌رونده به سمت هرج و مرج را توصیف می‌کند که در آن می‌گوید:
در یک سیستم یکپارچه، همه مسیرها منظم هستند، quaslperlodlc. با معرفی یک اغتشاش خفیف، هنوز احتمال برای مشاهده یک رفتار شبه تناوبی (در یک نقطه انتخاب شده به طور دلخواه در فضای فاز) وجود دارد. هنگامی که یک اغتشاش مهم‌تر معرفی می‌شود، احتمال یک رفتار شبه دوره‌ای کاهش می‌یابد و نسبت فزاینده‌ای از مسیرها آشفته می‌شود و این تا زمانی صحت دارد تا ما به یک حرکت با رفتاری بر اساس نظریه آشوب دست پیدا کنیم.
در یک سیستم خطی، مجموعه علل، تأثیرات متناظری را ایجاد می‌کنند و برای استنباط رفتار کل سیستم، کافی است رفتار هر جزء را در آن سیستم دخیل کنیم. پدیده‌هایی مانند مسیر توپ، رشد یک گل یا کارایی یک موتور را می‌توان با توجه به معادلات خطی توصیف کرد. در چنین مواردی، تغییرات کوچک منجر به اثرات کوچک می‌شود، در حالی که اصلاحات مهم منجر به اثرات بزرگ خواهند شد.
معادلات غیرخطی به طور خاص به پدیده‌های ناپیوسته مانند انفجار، شکستن ناگهانی مواد یا گردباد مربوط می‌شود. این معادلات غیرخطی تمایل دارند مانند یک انسان خاص و یا عجیب باشند که امکان پیش‌بینی رفتار آن‌ها وجود نداشته باشد. برخلاف منحنی‌های منظم معادلات خطی، نمایش گرافیکی معادلات غیرخطی شکست، حلقه‌ها و انواع تلاطم‌ها را نشان می‌دهد. با استفاده از مدل‌های غیرخطی، می‌تواند نقاط بحرانی سیستم را شناسایی کند که در آن یک تغییر جزئی می‌تواند اثری بزرگ بر روی سیستم داشته باشد. این موضوعات به صورت گسترده در نظریه آشوب مورد بررسی قرار می‌گیرند. در صورتی که علاقه‌مند هستید تا در مورد نظریه آشوب و سایر موضوعات موجود در علم فیزیک دانش کافی را به دست آورید، پیشنهاد می‌کنیم از آموزش‌هایی که توسط فرادرس در این زمینه در اختیار عموم قرار گرفته است، دیدن کنید. برای مشاهده آموزش‌ها و شروع یادگیری کافی است تا روی لینک زیر کلیک کنید: